关于数学素养测评及其践行

徐斌艳 蔡金法

核心素养驱动的课程改革成为全球潮流，我国在课程标准修订中亦对核心素养给予全面关注。以数学素养为例，已有丰富研究成果着力阐述数学素养之内涵。但我们也需要探讨如何让数学素养真正成为课程教学有机部分、如何开展数学素养的测评。这恰是本文研究的重点。

一、素养测评研究的背景

进入21世纪，两大国际评价研究项目TIMSS和PISA引发世界各国对教育的思考与改革。以美国为例，项目的测评数据显示美国学生学科素养成绩低于国际平均水平，这督促政府和专业协会出台改革政策。2009年11月美国教育部发布《“力争上游”计划实施摘要》(Race to the Top Program Executive Summary )，联邦政府投资40多亿美元，推进教育改革。“力争上游”计划关键是采用新型评价标准，以保证能够让学生在大学或工作岗位上取得成功，并最终在全球经济范围内具备竞争力。PISA测试结果也直接影响德国教育改革的走向。德国文化与教育部长联席会议（KMK）首次颁布全联邦性的各学科教育标准，为各联邦州的学业测评建立统一标准，以保障学校质量的均衡发展，并通过“评价”促进学生发展。被誉为“教育神话”之国的芬兰并没有因为学生成绩优异而沾沾自喜，他们始终坚持“向前看”的教育政策，积极学习他国教育改革与创新经验，启动了素养驱动的核心课程改革。

   我国教育改革立足本土特色又与世界同步，同样关注教育质量监测、重视

并落实学科素养及其评价。教育部强调，各级教育行政部门要逐步建立规范化、科学化、制度化的义务教育教学质量监测评估体系和教学指导体系；积极探索以学业水平测试和学生综合素质等为主要指标的综合评价体系。全国各省市也在积极探索并落实以综合素养评价为驱动的教育质量监控，如上海开展了学业质量绿色指标综合评价改革，从注重学科知识成绩到关注学生全面发展。关于核心素养的研究也日渐丰富。有些研究论证核心素养与课程改革发展之关系，阐述如何基于核心素养促进学校课程的发展，如何从课程目标的范畴建构“核心素养”，提出核心素养将有助于课程与评价的设计、实施有明确方向。其他研究则针对学科课程中核心素养的落实，提出评价学科素养的可行性建议。素养的培养和素养的测评是全球教育改革的热点，也是我国监测教育教学质量、保障学生全面发展的重要环节。素养本身并不是某种技能技巧，它是一种用于交流和学习的工具。联合国教科文组织(United Nations Education, Scientific and Cultural Organization简称UNESCO)专家报告指出，素养的提升离不开在特定情境和环境下的交流与学习。对素养的测评，旨在衡量学生并促进学生发展，整体提升教育质量。

    二、数学素养测评实践

   近十年各国在数学课程发展过程中，对学校数学教与学的评价进行再度审视与改革，评价的功能和作用不断丰富和拓展，测评不再是单一的某类技术，而是技术、教学、学习以及政策之间的互动系统。

   (一)美国数学素养测评

   美国各州对本地区的教育完全负责，各州都有各自独立的数学课程标准以及评价标准。但国际经验让美国的专业团队认识到，出台影响各州制定标准连贯性或完整性的统一标准意义深远。如全美数学教师理事会(National Council of Teachers of Mathematics，简称NCTM)曾于1989年出台《学校数学课程与评价标准》，它不仅对全美各州统一要求起到一定作用，而且助推了全球范围内开展基于标准的数学课程改革。其中提出的五大数学素养对当下数学教育发展仍然有影响，包括能认识数学价值；有数学学习自信；会成为数学问题解决者；会数学交流，会数学推理。20世纪90年代NCTM又出版各种标准，其中1995年的《学校数学评价标准》，提出包括终结性、形成性、表现性评价的多元数学评价系统。进入21世纪，更多标准相继出台，其中2010年全美州长协会和首席州立学校官员理事会合作出台《美国州际核心数学课程标准》(Common Core State Standards for Mathematics,简称CCSSM )。目前各州自行决定是否采用CCSSM。

   2009年启动撰写CCSSM，恰逢美国教育部出台“力争上游”计划，力求培养未来能胜任各岗位、具有国际竞争力的学生。因此CCSSM的开发遵循了相关准则，包括要与成功升入大学或进人职场的期望一致，要包括数学主要内容以及数学知识的高水平应用技能等。CCSSM提出了相当于数学素养的8大作为数学教学的重要基础:理解问题并能坚持不懈地解决问题；抽象化、量化地进行推理；构建可行的论证，评判他人的推理；数学建模；合理使用恰当的工具；关注准确性；寻求并使用结构；在不断的推理中寻求并表征规律。针对CCSSM，美国不仅注重终结性评估的导向作用，而且注重形成性评估的反馈功能。终结性评估在于测量学生在某个单元学习结束后所获得的成功水平或精熟度，侧重学习的结果。形成性评估则强调学习的过程，旨在“收集和利用关于学生学习的信息，帮助教师和学生改善教与学的行为。美国教育部资助两个州的评估机构:大学和就业准备评估合作伙伴(Partnership for Assessment of Readiness for College and Careers，简称PARCC)和精确均衡的评估组织(Smarter Balanced Assessment Consortium，简称SBAC)，让他们提出CCSSM评估建议并加以落实。整个评估建议涉及课程、政策、学习、教学等多方面。

     针对CCSSM中的数学素养的终结性评价，PARCC提出贯穿课程的评估(through-course assessment)，但要保证不能影响或决定课程内容，让学校有选择课程的自由。他们建议在11年级结束后进行一次总结性测评；或者当学生完成CCSSM某一领域内容的学习后，进行该领域的结业考试。SBAC建议设计适应性测试，但要建构步骤分以及标注系统以保证给教师、家长和学生报告有效的信息。评估机构以及各方专家也都建议，要开展长期和可持续的评估，并支持基于证据的恰当修订评估的途径。

CCSSM同时强调开展形成性评估。不少研究者构建并在实践中践行着形成性评估模型。如卡诺德(Kanold )和拉森(Larson)提出了以专业学习共同体为基础的包含5个阶段的教学一评估一学习周期(见图1)。

在这模型中，小学的协作组(collaborative teams)为年级，中学的协作组为学科组。第一阶段，教师通过三个问题来明确学习目标，设计相应的数学任务和工具:学习标准是什么?日常形成性数学任务是什么?共同评估工具是什么?第二阶段，协作组教师要营造学生积极参与的学习环境，将日常数学任务呈现给学生，并使用合适的形成性评估反馈策略来确定学生对预期学习目标的理解程度。第三阶段，教师采取相应的支持策略，鼓励学生运用反馈信息，调整学习目标。第四阶段，进一步发挥评估的调控和诊断功能，让学生利用评估工具(如测评结果)，分析并发现自己的不足，知道如何采用不同的方法去弥补不足。第五阶段，教师利用学生的评价结果改进自己的教学，包括检验数学任务质量、教学成效、学生成绩有效性等。这样的形成性评价循环，一方面突出学生学习的主动性，另一方面即时改进教学。

(二)芬兰数学素养测评

PISA让芬兰的教育受到世界瞩目，因为在PISA中，芬兰学生的数学素养成就连续位于世界前列。1994年芬兰国家教育委员会颁布《综合性学校课程框架》(Framework Curriculum for the Comprehensive School)，数学课程以建构主义思想为基础，以数学问题解决为核心培养学生数学逻辑素养，同时重视几何、统计和数与计算的基本知识和技能，强调数学思维与数学理解。芬兰数学教师被鼓励直接参与数学测评。PISA成绩说明芬兰这些数学课程实施的成功。但是，本着“向前看”的教育改革理念，芬兰始终关注关于数学学习的教育学与心理学研究成果，2014年再次进行数学课程改革。当下的数学教育体现出四大特点:重视数学学习情感，加强培养学生对数学的积极态度；加强学生对数学概念的理解；重视问题解决与数学推理过程；关心有特殊数学学习需求的学生。

   长期以来，芬兰教育制度保障教师在学校有特定的决策权，教师承担着对学生评价的责任。数学测评系统以教师主导测评为核心，国家对6年级和9年级抽样调查为辅助，同时强调学生自我评价。数学测评的功能旨在改进学生的数学学习，教师被鼓励基于测评数据，决策如何帮助学生更好地理解数学。数学教师拥有较强的数学测评设计能力，得益于芬兰卓有成效的数学教师培养体系。

   芬兰教师擅长以多元的方法主导测评。如在课堂上实践形成性评价，具体包括即时干预、教师反馈、学生自我评价等。在芬兰数学课堂上，形成性评价的意图首先是创设满足学生需求的学习环境，教师通过形成性问题了解学生思维，实施针对性干预，揭示学生的迷思概念或拓展学生思维。在充分了解学生思维的基础上，教师构建有效的学习环境。芬兰国家教育委员会提出，数学测评的作用在于描述学生在多大程度上满足了预设的发展和学习目标。教师测评的是学生的进步以及对课程的掌握。同时，教师不断培养学生在课堂上的自我评价意识与能力，帮助学生理解自己在课程学习中的进步，发展其独立的思维、自信的态度。芬兰的数学测评已经成为学习过程的自然组成部分，所得数据为教师以及学生的数学教与学服务。

   (三)德国数学素养测评

   为监测并保障学校教育质量的均衡发展，德国教育质量发展研究所（IQB）承担了德国各联邦州统一的学科素养测评。国家层面的数学测评以2003年和2012年颁布的德国数学教育标准中的能力模型为依据。该能力模型提出了包括数学论证、数学地解决问题、数学建模、数学表征的应用、数学符号、公式以及技巧的熟练掌握和数学交流在内的六大数学核心能力。而这些核心能力的提出聚焦于每个学生应该在数学教学中获得的“基本经验”，它包括:用数学方式感受并理解周边的现象，如自然界现象、社会以及文化现象；认识并理解数学对象是世界中的精神杰作；在数学学习中获得超越数学的方法与能力。显然基本经验涉及数学交流、数学精神、数学方法与能力，其内涵与数学核心素养相当。这个能力模型强调数学能力的发展是一个可持续的过程，它要求教学能从学生现有能力出发，根据现有学习内容，设计符合学生发展并且促进发展的数学学习问题，使得所有学习者在整个学习生涯中数学能力得到可持续发展。

   IQB在设计测评题时注重创设或提出适当的问题情境，让学生在处理或解决问题过程中逐步获得关于数学概念、数学联系与方法的新知识，这些新知识有助于学生合理地处理数学内部和数学外部的问题情境，解释并表达其结果。在编制试题时，还考虑到让学生能够将已获得的数学概念、数学联系以及数学方法应用于复杂的数学化过程中，进一步认识并理解这些概念与方法。如果仅仅照搬已学的解题过程或者反复操练同类习题，很难完成这些问题解决，无助于现有的知识与能力的发展。编制试题时还注重让学生能够持续不断地学习合理的方法和策略，掌握启发性策略，如能够将复杂事实分解为可解决的、熟知的部分；并让学生了解到这些策略对其他应用情景的影响与可迁移性。

   IQB及时向教师公布研制测试框架的理念，设计测评任务的教育教学功能，并且及时将测试结果反馈给学校教师，以帮助教师对照具体的教育标准和教学

大纲，学会诊断学生的数学素养水平，形成促进学生能力发展的教学策略。因此IQB的测评项目弱化了能力评价的功能，而突出诊断和改进教学的功能。尤其为教师提供改进教学的具体策略，如通过变式习题改进教学、鼓励教师激发学生认知积极性、关注学生能力差异等教学策略。

   (四)新加坡数学素养测评

新加坡21世纪以来的数学课程改革，强调建立更具灵活性和多样性的教育制度，能为学生提供更多选择，能适应不同学生的兴趣、潜力和发展需要；让学生从小掌握重要的生活技能，养成学习及发问并重的习惯，培养独立学习和创造性思维的能力。以“问题解决”为核心的课程模型对学习评价提出新的要求。新加坡教育部及时组建由大学研究者、教育管理者和一线教师组成的团队，启动数学测评项目(Mathematics Assessment Project，简称MAP )，构建并推进四种测评策略:基于项目的测评；基于学业表现的测评；基于交流任务的测评以及学生自我评价。新加坡聚焦素养评价，提出多样化评价策略，强调课堂评价应有助于教与学质量的提升，素养测评应该是教学实践的组成部分。研究者将多样化的测评方法及其测评意图汇总在表1。

(五)数学素养测评实践的比较

    比较这四国数学测评实践可见，数学素养及其测评形式、功能定位丰富、多元，且测评执行机构也各有特色，四国数学素养及其测评的特征汇总在表2

从数学素养看，数学问题解决和数学推理为这四国共同关注的数学素养，数学交流与数学情感(自信、积极态度、兴趣等)也分别为大部分国家关注。芬兰和新加坡仍然重视数学概念理解，将其作为核心素养之一，美国和德国则将认识数学价值作为重要素养之一。

   从数学素养测评看，这四国都采用形成性评价，测评成为教学的重要环节；除芬兰之外，其他三国仍然重视终结性评价。芬兰则特别重视学生自我评价。在这四国，测评发挥的主要功能都是诊断教学并改进教学，鼓励教师基于测评数据，了解学生素养的表现，根据学生现有素养水平，及时调整和改革教学。

   对测评的组织与管理则各具特色，德国从国家层面开展测评，保证各联邦州教育质量均衡发展。美国与新加坡则委托机构或团队开发、实施测评；芬兰则更强调教师在测评中的主导作用。

   三、数学素养测评工具举例

   在比较数学素养测评实践以后，我们以具体素养为例，深入分析践行测评中可采用的测评工具与方法。由于目前仅有少量针对数学交流和数学情感的研究，我们应该对此加以关注，在此聚焦这两个素养测评的工具与方法。

   (一)数学交流素养的测评

   在数学交流过程中，学生会不断反思、精炼或修正自身的数学观点，使思维清晰化。但学生并非天生就具备数学交流素养，有意识培养数学交流素养是数学教育任务之一。我们也需要显性的、可检测的数学交流素养测评工具，测评学生的数学交流素养状况。蔡(Cai)等研究者设计开放式问题及其评分方法对学生数学交流进行测评，他们建议可以从改编教师熟悉的题目出发。有些看似封闭的选择题，当要求学生表达出思维(思考)过程时，题目具有“开放”的特征。以下面“小数问题”为例。

[小数问题] 在下列数字中圈出最大的数，并解释你的理由。

     0.08      0.8         0.080    0.008000

下面是三个学生的解答:

测评数学交流重要的首先是开发测试任务。任务的问题情境应该是学生相对熟悉，让学生能够参与到数学任务中。任务的解答过程或策略是开放的，有利于学生使用各种不同的数学表征手段或工具，进行数学推理，表达解答过程或策略，促进其数学交流。在设计测评任务时，可使用如下提问方式促进学生交流:解释你是如何找到答案的；说明你的解答过程；详细说明论证你的答案；解释你的理由，并举例说明等。

其次构造数学交流过程的评分方法。蔡(Cai)等研究者提出整合定量整体评分法和定性分析评分法，给数学交流素养进行一个合理全面的评价。定量整体评分法不仅测评答案正确性，而且检验解决过程，包括数学交流、解决策略、数学错误等。进行整体评分时，可参考如下数学交流评分标准，给学生的回答赋予一个从0-4

   (二)数学情感素养的测评

   学生对数学的态度或信念是影响学生数学学习的内在因素。蔡和梅琳娜( Cai&Merlino)开发了“比喻调查法”，这方法要求学生把数学比做一种颜色、食物或动物，即让学生用自己熟知的颜色、食物或动物来类比自己对数学喜欢或憎恶的程度以及原因。〔川这一测评方法包括“问卷调查表”以及对收集数据进行定量和定性分析的工具。

   问卷调查表具有如下结构:

   我们对你如何看待和考虑数学很有兴趣，请思考下面的问题，写下你的真

实感觉。以下问题的回答不分正误。

   如果数学是一种颜色，它应该是，因为

   如果数学是一种食物，它应该是，因为

   如果数学是一种动物，它应该是，因为

   然后用定性和定量方法对学生的回答进行评分。通过定性分析，可以对学生的态度进行分类。在某次研究中曾收集到表明喜欢数学的例子:“蔬菜是对你有利的，就像数学对于现实世界是很有用一样，我们生活中需要它。一些人喜欢它，一些人则不喜欢，但健康的生活却离不了它。”也收集到不喜欢数学的例子:“我想说数学像蚊子，因为无论你试图做什么躲避它，它总会回来的。让我讨厌的是每年都要卜数学课，无论你试图做什么以逃避数学课，你总不会得逞的。”学生在说明喜欢或不喜欢数学的原因时，有如下表述:“菠萝有粗糙的外壳，很难打开，但一旦打开外壳，就会有很强的满足感。数学也一样，开始很难，但你一旦达到，就很有意思。”“黑是一种黑的颜色，我们很多人无法描述它或者理解它，数学对我来说就像黑色的影子，我不喜欢。”

   对上述学生给出原因进行归类，可以发现他们喜欢数学可能的原因，如他们体验到努力学习数学、克服困难、到达目标后的满足感；也能发现导致学生不喜欢数学的原因，可能是他们无法克服学习数学时遇到的挑战。我们可依据表3对数据或信息进行定量分析。

    四、对数学素养研究的展望

   “核心素养是课程发展的DNA”对核心素养的研究旨在为课程教学改革提供重要路标。在探讨数学素养测评的同时，我们还需要努力构建并实施有助于培养与发展学生数学素养的课程教学实践。已有研究给我们启发，如“促进协商和对话”的教学模型可为学生交流素养发展创设学习环境；通过“学习项目”课程与教学设计，为数学问题解决等素养的发展重构课程资源。由于数学情感是一种对数学的个体感受、内心体验，很难通过直接的、传授的教学加以培养。教师可在教学中与学生讨论利用比喻评价数学情感得到的结果，这种讨论可以聚焦在加强积极数学情感卜，找到改变负面情感的方法。如何将数学素养的研究从理论构建延伸至课程教学实施，再基于实践数据进一步完善素养理论，将是我们需要继续潜心研究的领域。